关于代数数的一段笔记

事情缘起于我回答了 这个知乎问题。这让我想起了我最初接触代数数的一些故事。这篇故事选集将使用大学生的语言，即使一些事情发生在中学阶段。

自主招生题目

高中阶段有人找我讨论过这么一个题目：寻找一个非零整系数多项式 $f(x)$ 使 $\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$ 是它的一个根。具体的数可能不是这个，但是意思传达达到了。用现在的话来说，就是给定 $a,b$ 是两个代数数，寻求 $a+b$ 的一个零化多项式。

当时我突发奇想：既然 $\sqrt{2}$ 的极小多项式具有 $-\sqrt{2}$ 这个根，而 $\sqrt[3]{3}$ 的极小多项式有 $\omega\sqrt[3]{3},\omega^2\sqrt[3]{3}$ 这些根，那么是不是$\prod_{r=1}^{2}{\prod_{s=1}^{3}{\left({x-{\left({-1}\right)}^r\sqrt{2}-\omega^s\sqrt[3]{3}}\right)}}$其实是一个整系数多项式呢？（我当初的想法是：那两个代数数的和的极小多项式是不是应该具有那些根呢？当然这对一般的两个代数数不一定，但这里我觉得它们之间不会“耦合”。）

当时我用 Wolfram|Alpha 验算了，这个多项式确实是整系数多项式，于是问题对我来说就是解决了。之后我的同学告诉我参考答案给的解法是：从 $x=\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$ 出发，不断移项和两边乘方，直到完全消去根式。在我的那个知乎回答里，我也将其称为“中学生瞎胡搞方法”。

代数数集对加法和乘法封闭

大一的时候朱子霖问了我一个问题：如何证明代数数构成的集合是域？对于求相反数和求倒数是容易的，难点在于加法和乘法。当时我想了一天没想出来。第二天朱子霖告诉我“标准解法”是：利用极小多项式知道 $a,b$ 的足够高次幂都可以改写为 $a,b$ 不超过 $m,n$ 的多项式，于是 $1,a+b,...,{({a+b})}^{mn}$ 线性相关，因为这向量组可以被 $a^rb^s$ 线性表达（其中 $r=1,...,m$、$s=1,...,n$），乘法同理。

我学习抽象代数之后知道了这种考虑方式是自然的：因为 $\mathbb{Q}[{a,b}]=\mathbb{Q}[a][b]$，而 $a$ 是 $\mathbb{Q}$ 上的代数元，$b$ 是 $\mathbb{Q}$ 上的代数元，自然是其扩域上的代数元，于是 $\mathbb{Q}[{a,b}]$ 是 $\mathbb{Q}$ 的有限维扩张，而 $\mathbb{Q}[{a+b}]$ 是前者子域，自然也是有限扩张，这就说明 $a+b$ 也是 $\mathbb{Q}$ 上的代数元。

利用 Viète 定理证明

今天看到 Math StackExchange 上的 这个回答，我才突然意识到我中学时候的想法确实是对的，而不是巧合！这个回答是说，若 $a,b$ 的零化多项式的所有根是 $a_1,...,a_m$ 和 $b_1,...,b_n$，则多项式$\prod_{r=1}^{m}{\prod_{s=1}^{n}{({x-a_r-b_s})}}$是有理系数多项式（注意：即使选择的 $a,b$ 的零化多项式是极小的，这个新得到的多项式也不一定是 $a+b$ 的极小多项式）。证明只要一句话（一个勤于思考的中学生肯定会）：因为这个式子关于根对称（所以可以写成根的初等对称多项式的多项式），所以可以写成之前的零化多项式的系数的多项式。

利用矩阵做构造性证明

在 MathOverflow 的 这个回答 和 Math StackExchange 的 这个回答 里面展示了一个很实用的构造性证明。让我想起了我学习群表示理论课的时候接触了 Kronecker 积和张量积。

先利用线性代数课里会接触的一个引理：$a$ 是 $F$ 上的代数元，当且仅当 $a$ 是 $F$ 上某个方阵的特征值。充分性是定义，必要性利用多项式的伴侣阵（友阵）即可。注意：即使你的线性代数课没有 Frobenius 标准形或者有理标准形，通常伴侣阵也会出现在习题里面。

设 $a,b$ 分别是 $A,B$ 的特征值，则：

• $a^{-1}$ 是 $A^{-1}$ 的特征值（如果 $a\neq 0$，显然可以选择 $A$ 是可逆的）；
• $ab$ 是 $A\otimes B$ 的特征值；
• $a+b$ 是 $A\otimes I+I\otimes B$ 的特征值（注意两个 $I$ 并非要是同型的）。

实际上我更喜欢用线性同态的语言——因为同态的张量积的意义很明显。

最后的话

虽然我现在已经把群表示理论忘得差不多了，不过我一直记得张贺春教授。实际上我也很高兴我的线性代数 (2) 是张贺春教授的，似乎其他的教授并没有在课上讲 $\lambda$-矩阵（以及行列式因子、初等因子和不变因子）作为判定相似的充要条件。我初学相似的全系不变量是看厦门大学的公开课，再听一次也是很好的，其中用到的 Smith 标准形（一些译者译作“法式”，张教授觉得这是一些译者以为 normal 是几何意义的 normal）也很有助于我之后理解 abelian 群的“展示”（presentation，是指用一些生成元和关系算出一个群，本质上来说是自由群模去关系的生成正规子群，对于 abelian 群来说可以把关系看作 $\mathbb{Z}$ 上的矩阵，变换为 Smith 标准形可以获得这个群的 canonical 写法）。群表示理论课也非常有意思，我现在依稀还能记得 Maschke 定理，以及教授在结课的时候提的：下一步就是学习 Lie 理论以及拓扑群的表示。

唉，不过这两个课程我的期末考试都不是很棒，线性代数 (2) 的期末考试里我没有算对 Jordan 标准形，群表示理论的期末考试是求一个一般线性超群的特征标，我有一大类没算出来。也算是一点点小遗憾。