随机过程习题课见闻二则

去听习题课并不是为了听讲习题，而是为了混参与分数（虽然我相信这个课不用参与分数也可以拿很高的分）。虽然，仍然有两则有趣的见闻以飨观众。

注：“虽然”是文言用法，意思是“即使这样”。

加强形式化思考的培养

有一道习题是这样的：

设 $X_1,...,X_n$ 独立同分布且取值恒正，证明$\EqProblem$

这个题目的正确做法不难，大概是这样：

用线性性得到$\EqUseLinearity$又因为独立且同分布，所以$\EqIndie$

后面的省略了，当我强调独立的时候，助教和几个同学提出质疑：这里并不需要独立性，只要同分布即可。
我说：不，这里需要独立性。
助教：没有独立性就不等了吗？
我：让我换一种说法，我的论证用到了独立性。
助教和其他同学陷入沉思，并再次表示只要同分布，不用独立性。
我：嗯，那如果不需要独立性，这个题目为什么还要给出这个条件呢？此外，我不是说没有独立性这个期望就不相等，而是我不知道没有独立性怎么做，因为我是这样做的；此外，我认为去掉独立性结论不一定成立。

考虑$Y_i=\left({X_i,X_2,...,X_{i-1},X_1,X_{i+1},...,X_n}\right),$因为 $X_i$ 独立同分布，所以每个 $Y_i$ 都是同一个分布的 $n$ 次幂，令$f\left({Z_1,...,Z_n}\right)=\frac{Z_1}{Z_1+\cdots+Z_n},$我们就知道诸 $f(Y_i)$ 是同分布，因此期望相等。

说完上述之后，助教表示：我们来试试找一个不独立的反例？
然后助教想了一个平凡的非反例，我：暂时没有找到反例不代表这是对的呀！
然后又过了一会儿，一个同学提出了一种变形方式，让助教老师一下子就意识到了这里需要独立性。

实际上，助教和其他同学在谈话间常常强调：这里没有用到随机变量的乘积，只是替换了一下下标，应该不用独立性。

这就让我感觉很迷惑，尤其是助教老师也这样，感觉就像是小学生在学习概率论，检查结论是否正确的时候没有使用形式化的思考方式，说好听点叫做“感性理解”和“直觉”，说难听点叫“想当然”。实际上，在达到一定水平之前不要太相信自己的感性、直觉；又或者，只是记住了乘积需要独立，线性不需要独立，然后错误地运用到了这里的情况。

这让我想到了我们的微积分教学，微积分课是一个很好的锻炼形式化思考能力的机会，因为很多想当然的结论是错误的（推荐一本书《数学分析中的反例》）。这里的同学很多也不是一年级的学生了，一年级的微积分课到底是否有效地建立了形式化思考的习惯和能力，还是说过了微积分这一茬儿除了计算没有留下点什么，有待考察。

另外，一个反例：考虑 $X_1-1\sim B\left(\frac12\right)$ 而 $X_2=X_1,X_3=3-X_1$，于是$\CounterExample$

新奇的想法值得仔细对待

有一个题目是这样的：

设 $X$ 是一个取值在 $\left[{a,b}\right]$ 上的随机变量，证明 $\mathrm{Var}\left[X\right]\leq\frac{{\left({a-b}\right)}^2}{4}$ 并说明何时等式成立。

这个题目也很简单，一个自然的想法是使用 Jensen 不等式，这里略去不谈。一位同学提出了一个新奇的做法，定义随机变量$Y=\left\{\begin{array}{ll}a,&X\leq\mathbb{E}\left[X\right];\\b,&\mathrm{otherwise.}\end{array}\right.$然后注意到 ${\left({Y-\mathbb{E}\left[X\right]}\right)}^2\geq{\left({X-\mathbb{E}\left[X\right]}\right)}^2$，于是 $\mathrm{Var}\left[Y\right]\geq\mathrm{Var}\left[X\right]$，而熟知 $Y$ 的方差不超过 $\frac{{\left({a-b}\right)}^2}{4}$，于是得到结论。

在她讲述的时候，我非常吃惊，因为这个构造的想法在我看来是巧妙的，而且她一开始说思路的时候也特别好：“我们先找一个随机变量，把 $X$ 的方差放大。”然后我也没多想，而且我在讲我的做法（Jensen 不等式，讲题可以改进平时分数）的时候还称赞了这个做法，我说这个做法很“新奇、聪明”。

只可惜这个证明是错误的，下课前我发现这里的谬误在于 $Y$ 的期望并不一定要是 $X$ 的期望，前面的逐点不等式无法推出方差的关系。

新奇的想法可以开阔思维，值得仔细学习，同时也要仔细审视，确保是正确的。

18 日更新

再次思考表明这个方法实际上是可行的，只不过正确的做法很不简炼。这里要先造另一个概率空间，并且在新的空间上实现 $X$，且新实现的离散部分可以被“拆开”。

具体来说，考虑原来的概率空间是 $P$，则新建立的概率空间是 $P\times Q_v$，其中 $Q_v$ 是一个待定的 $\left\{{0,1}\right\}$ 上的概率测度，且 $\left\{0\right\}$ 的测度是 $v$。定义 $\hat{X}\left({p,q}\right)=X\left(p\right)$，显然 $\hat{X}$ 和 $X$ 同分布，现在开始用 $X$ 表示 $\hat{X}$。待定 $Y$ 是这样一个随机变量：$\DefY$我们希望 $\mathbb{E}\left[Y\right]=u$，利用累积概率函数的单调性和右连续性，容易看出存在着一种 $u,v$ 的选取使我们的愿望被满足——论证方法是先用区间套确定 $u$，然后根据需要选择 $v$（实际上当 $\mathrm{Pr}\left[{X=u}\right]>0$ 时才用得到 $v$，等于 $0$ 的情况都不需要建立新的概率空间；另外这里的叙述有很多种不同的说法，这里提到的不一定是最易懂的）。接下来利用$\UseThisInequ$就得到结论。

当然这样大费周章就抛弃了考虑这个方法的意义（本来我们希望这个方法是巧妙、简洁、优美的），另一位同学在课上已经提出了一种很优美的做法，用上一个公式里的第一个不等号的道理：$\UseThisIneq$

评注 实际上，最后一个方法和 Jensen 不等式方法的区别在于配方的先后，Jensen 不等式最后一步是对 $\mathbb{E}\left[X\right]$ 配方，而最后这个方法是先对 $X$ 配方，而${\left({X-\frac{a+b}{2}}\right)}^2\leq\frac{{\left({a-b}\right)}^2}{4}$也可以看成是 Jensen 不等式的特殊情况（不过，一般来说大家不说这是 Jensen 不等式）。