数学文字中的“一般”

“数学文字”应该理解为 mathematics literature，我想不出来这该怎么翻译。

今天我在写一篇日记文体的博客（写这篇的时候这篇日记博客还没有发表），其中提到了“一般”（数学文字意义下的），就回忆起我在初中的时候问过梁威老师（我的数学老师）的一个（现在看起来有点蠢的）问题：

梁老师（讲一个什么的定义或者什么命题）：“一般地，叽里呱啦叽里呱啦……”

我：“老师，有‘一般’情况，那有没有特殊情况呢？”

梁老师：“数学中的‘一般地’的意思不是‘通常来说’，而是‘普遍情况’，也就是说这个命题（或者这个定义）普遍成立。”

举个例子，数的加法具有交换律，一个进行算术启蒙的课本可能会用如下的语言：

$1+2=2+1$、$15+23=23+15$，你发现了什么规律？

加法交换律 一般地，交换两个加数的位置，和不变。

又比如，初中生学习一次函数的时候可能会看到类似下面的语言：

一般地，形如 $y=kx+b\quad\left({k\neq 0}\right)$ 的函数叫做一次函数；特别地，$b=0$ 时 $y=kx$ 叫做正比例函数。

这里的意思是并不是 $y=kx$ 就不叫一次函数，只是它还有更具体的名字。

数学文字中的“一般”并不是日常生活中的“一般来说”、“一般情况下”的意思，日常生活中的“一般”暗示着“例外”，而数学中的“一般”一般没有例外。

“一般地”这个词的英文是 generally，而“特殊地”是 particularly，“特殊”是“一般”的一种情况，并不会让“一般”的内容无效化。这种含义还会在对应的形容词上表现，例如说一个方法很“一般”的时候，并不是说这个方法平淡无奇、没有特色，而是说它适用范围广、适用于“一般情况”。

在数学文字中还经常见到“不失一般性”或者 WLoG，它的作用则是把“一般”变成“特殊”的样子，但是其内容仍然是“一般”的，它的同义词是“不妨”。举例来说：

证明：若 $V$ 是有限维线性空间且 $U\leq V$ 是一个子空间，则存在子空间 $W\leq V$ 使得 $U\oplus W=V$。

不妨设 $V=\mathbb{F}^n$……

这个“不妨”显然是因为任意有限维线性空间都同构于向量空间，且对于同构的线性空间 $V_1,V_2$ 以及同构 $\varphi:V_1\to V_2$，$U_1\oplus W_1=V_1$ 等价于 $\varphi\left(U_1\right)\oplus\varphi\left(W_1\right)=V_2$；也就是说，要求 $V=\mathbb{F}^n$ 不改变这个论证的普遍有效性。

这种语言用多了，我也会把它带到一般生活中，例如这句话就已经在这样用了（当然，这句话用普通生活的一般去理解，也没有问题）。