谈“理想”和其他

理想（ideal）是出现在抽象代数（更特别地，环论）中的一类对象，其命名很有渊源。之前我只知道这个名字来源于一位数学家研究惟一分解时引入的“理想数”（该研究的思路和一般化最终形成了现代数学语言中“理想”的定义），但是具体的细节不是很明白；最近在阅读 基于格（lattice）的密码学 的内容，其中提到了环上的格（ring lattice），其中提到了理想格（环的一个子集，同时满足格和理想的要求），好奇心一发不可收拾，读了 一些数学历史故事，对“理想数”加深了认识，记录下来以飨观众。文章最后讨论了“理想数”这个翻译的不达意之处。

这篇博文的内容主要是基于上述提到了数学历史故事，其引用是：Lemmermeyer, F. Abh. Math. Semin. Univ. Hambg. (2009) 79: 165. https://doi.org/10.1007/s12188-009-0020-5

你也可以 通过 arXiv 访问被引用文章。这篇博文的历史介绍不如那篇文章详细，但希望足以讲清楚“理想数”和“理想”的关系；本文将包括大量的翻译和少许补充。本文假设读者具有基本的抽象代数知识。

一个例子

这一节是 2019 年 4 月 8 日更新的，加入了一个经典的例子。考虑在 $\mathbb{Z}\left[\sqrt{-5}\right]$ 上有如下分解 $6=2\times 3=\left({1-\sqrt{-5}}\right)\left({1+\sqrt{-5}}\right),$ 这说明 $1\pm\sqrt{-5},2,3$ 都不是 $\mathbb{Z}\left[\sqrt{-5}\right]$ 里的素数，但是又不可分解。为了解决惟一分解性的问题，Kummer 扩展了 $\gcd\left({a_1,\GLdots,a_n}\right)$ 的含义，用它来表示想象中 $a_1,\GLdots,a_n\in\mathbb{Z}\left[\sqrt{-5}\right]$ 的“最大公因数”（它们在 $\mathbb{Z}\left[\sqrt{-5}\right]$ 里面可能没有最大公因数），先不深入说这个定义的技术细节。我们知道对于普通的数 $a,b,c$ 来说 $\begin{aligned}\phantom{\rule[-0.6em]{1em}{1em}}&\gcd\left({b,c}\right)=1\\\Longrightarrow&\gcd\left({a,bc}\right)=\gcd\left({a,b}\right)\times\gcd\left({a,c}\right),\end{aligned}$ 由于 $2,3$ 互素、$1\pm\sqrt{-5}$ 互素，这样一来（直观上）就可以写 $\begin{aligned}\phantom{\rule[-0.6em]{1em}{1em}}2=\gcd\left({2,6}\right)&{}=\gcd\left({2,1-\sqrt{-5}}\right)\times\gcd\left({2,1+\sqrt{-5}}\right),\\\phantom{\rule[-0.6em]{1em}{1em}}3=\gcd\left({3,6}\right)&{}=\gcd\left({3,1-\sqrt{-5}}\right)\times\gcd\left({3,1+\sqrt{-5}}\right),\\\phantom{\rule[-0.6em]{1em}{1em}}1-\sqrt{-5}&{}=\gcd\left({2,1-\sqrt{-5}}\right)\times\gcd\left({3,1-\sqrt{-5}}\right),\\\phantom{\rule[-0.6em]{1em}{1em}}1+\sqrt{-5}&{}=\gcd\left({2,1+\sqrt{-5}}\right)\times\gcd\left({3,1+\sqrt{-5}}\right),\end{aligned}$ 最后，$6$ 可以写成四个“理想素数”的乘积。

用现代的语言来说定义本身，这是 $\mathbb{Z}\left[\sqrt{-5}\right]$ 的有限子集族商一个等价关系，这里面的等价关系以及商过之后等价类的运算，都是保 Euclidean 算法的：增加或者去掉 $0$ 是单步等价的，把一个数替换为它加上另一个数的若干倍是单步等价的，单步等价的传递闭包就是该等价关系；两个理想数相乘，是各取一个两两相乘放在一起；两个理想数的最大公因数，是各取一个两两相加放在一起。当然，作为“数”来说，这样的定义“遗忘”了符号（单位），因此只能用来做乘法——这没什么问题，毕竟引入理想数就是为了解决因数分解问题——而且，常见的一种“最大公因数”的定义本来就是会遗忘符号的（最大公因数的相伴元素仍然是最大公因数）。

用现代的观点来看这个定义，它其实是有限生成理想的等价定义。用理想的语言来说，上面的分解实际上就是理想的分解 $2\mathbb{Z}\left[\sqrt{-5}\right]=\left({2,1-\sqrt{-5}}\right)\left({2,1+\sqrt{-5}}\right),$ （其他几个分解略）其中 $\left({a,b}\right)=\left\{{xa+yb:x,y\in\mathbb{Z}\left[\sqrt{-5}\right]}\right\}$ 是 $a,b$ 生成的理想。

最后，不是说对任何一个环引入了理想数（或者理想）就彻底解决了惟一分解问题：只有 Dedekind 整环才有理想的惟一分解，而比如 $\mathbb{Z}\left[\sqrt{-3}\right]$ 就不是一个 Dedekind 整环。

Kummer 的理想数

令 $\lambda$ 是一个奇素数，$\alpha$ 是 $\lambda$ 次本原单位根（一个复数，满足 $\alpha^\lambda=1$ 且 $\alpha^k\neq 1$ 对 $k=1,\GLdots,\lambda-1$），则环 $\Zalpha$ 中的元素可以写成 $\alpha$ 的小于 $\lambda$ 次的整系数多项式 $\falpha=a_0+a_1\alpha+\cdots+a_{\lambda-1}\alpha^{\lambda-1},$ 其中 $a_0,\GLdots,a_{\lambda-1}\in\mathbb{Z}$。

考虑 $\Zalpha=\left\langle\alpha\right\rangle$ 的自同构，因为是单生成环，只需要指定生成元 $\alpha$ 的像，显然只能是一个本原单位根，所以它的所有自同构是 $\sigma_k:\alpha\mapsto\alpha^k$，其中 $k=1,\GLdots,\lambda-1$（注意 $\lambda$ 是素数）。

考虑 $\falpha$ 的同构像，它们是 $f\left(\alpha^k\right)$，其中 $k=1,\GLdots,\lambda-1$。把它们相乘得到 $\falpha$ 的范数 $N\left(\falpha\right)=\prod_{k=1}^{\lambda-1}{f\left(\alpha^k\right)},$ 该范数在任意自同构下不动，是一个整数。

注解：这个“范数”没有度量的意义。实际上 $f\left(\alpha^k\right)$ 叫做 $\falpha$ 相对于 $\sigma_k$ 的 共轭。这类似于 $\mathbb{C}={\mathbb{R}\left[x\right]}/{\left({x^2+1}\right)}$ 的自同构 $z\mapsto\bar{z}$。考虑任意一个无零因子环的自同构群的有限子群自然作用于（acts on）该环，一个元素的所有像的乘积非零当且仅当自己非零，且该乘积在该子群下不动。另一个经典的例子是考虑 $\mathbb{Q}\left[\sqrt{2}\right]$，其中 $p+q\sqrt{2}$ 的共轭是 $p-q\sqrt{2}$，范数是 $p^2-2q^2$。

Kummer 在一篇文章中如此介绍定义“理想数”的动机：

假设 $p=\lambda n+1$ 是一个素数，且在 $\Zalpha$ 上具有素因子，也就是 $p=N\left(\falpha\right).$ 如果 $\falpha$ 是一个复数且是 $p$ 的素因子（在 $\Zalpha$ 中的素因子），则它具有这样的性质：如果我们用 $\xi^\lambda\equiv 1\bmod p$ 的一个解 $\xi$ 代入 $\alpha$，就会得到（一个正确的等式）$\fxi\equiv 0\bmod p$。

这里我需要加一个注解：从现代的观点看，如果 $p$ 在 $\Zalpha$ 上是合数，假使它的一个素因子是 $\falpha\notin\mathbb{Z}$，则 $p$ 一定具有该元素所有同构像作为素因子；这是因为同构保持素性和整除性，而 $p$ 在所有的自同构下都不动。因此，$p$ 若是合数，则它具有 $N\left(\falpha\right)$ 作为因子，这个范数不能是 $\pm 1$，因为范数是 $\pm 1$ 的元素是单位而不是素数；将自同态 $\sigma_0:\alpha\mapsto 1$ 作用于这个范数，可以看出它一定是非负的，所以只能是 $p$。

Kummer 接着提到：

如果（复）素数 $\falpha$ 是复数 $\Phialpha$ 的因子，则我们有 $\Phixi\equiv 0\bmod p$。反过来，若 $\Phixi\equiv 0\bmod p$ 且 $p$ 在 $\Zalpha$ 上可以分裂为 $\lambda-1$ 个素数相乘，则 $\Phialpha$ 具有素因子 $\falpha$。然而 $\Phixi\equiv 0\bmod p$ 是否成立和 $p$ 是否能分解为 $\lambda-1$ 个素数相乘无关。因此，我们可以改换思路，用这作为定义：我们说 $\Phialpha$ 含有 和 $\alpha=\xi$ 相关联的 $p$ 的“理想素因子”作为因子，当且仅当 $\Phixi\equiv 0\bmod p$。

这里我要再加一段注解：这里的思想是非常深刻的。我先解释这段可能有些拗口的话的含义，再介绍我学习数学时类似的想法。

这句话：

然而 $\Phixi\equiv 0\bmod p$ 是否成立和 $p$ 是否能分解为 $\lambda-1$ 个素数相乘无关。

是说前面的同余等式本身的 sense 已经是 well grounded，直接把它看成多项式求值即可，它 sense 的成立不依赖于“理想素数 $\falpha$”的存在。

用一个更加初级的例子理解，如果我们考虑两个 $n$ 阶有理数矩阵 $A,B$，则 $A,B$ 相似当且仅当 $A,B$ 具有相同的 Jordan 标准形。值得注意的是 $A,B$ 作为有理数矩阵不一定具有 Jordan 标准形（例如它的有理数特征值个数不够），只有将它放到特征多项式的分裂域上考虑，才有 Jordan 标准形一说。熟知的是矩阵相似和域无关——两个矩阵相似，当且仅当它们的初等因子组/不变因子组/行列式因子相同。因此，我们改一种说法，不去考虑扩域什么的，而是如此定义：说两个矩阵 $A,B$ 具有相同的 Jordan 标准形，当且仅当它们相似。这里，被定义的短语是“具有相同的 Jordan 标准形”，我们不去考虑“Jordan 标准形”是什么，而是根据相似与否定义是否是“相同的 Jordan 标准形”。

上面这个初级的例子再进一步考虑的话，可以把一个矩阵的 Jordan 标准形定义成该矩阵在相似关系下的等价类。这定义当然和我们熟知的 Jordan 标准形不同，但是它对于让短语“具有相同的 Jordan 标准形”具有“实在”的含义是有帮助的。应该如此理解这样一个窘迫的定义：这是一个不知道 Jordan 标准形的人尽全力给出的一个定义。同样，Kummer 对于“理想素数”的定义也是这样的，只不过在他的时期，数学界上对于“同构说法”的接受程度还不高。

好，接下来说一个我学习数学的时候的这种“先想象、后用想象去定义”想法：

Baby Rudin 里使用 $\mathbb{Q}$ 的 Dedekind 分割定义 $\mathbb{R}$。若 $X\subseteq\mathbb{Q}$ 满足：

• $X\neq\varnothing,X\neq\mathbb{Q}$
• 对任意 $x\in X,y\in\mathbb{Q},y<x$ 有 $y\in X$
• 对任意 $x\in X$ 存在 $y\in\mathbb{Q},y>x$ 使 $y\in X$

则说 $X$ 是一个实数，所有实数的集合记作 $\mathbb{R}$（后面各种定义略）。

应该如何理解这个定义呢？我是这么想的：先利用高中数学的幼稚想法假想“实数”的存在，对于一个实数 $x$，考虑 $X=\left({-\infty,x}\right)\cap\mathbb{Q}$，这个集合不依赖于“实数”的存在，而且不同的 $x$ 会对应不同的 $X$（为什么？因为假想的“实数理论”里有 $\sup X=x$），因此我们现在改换想法，用不带“实数”的语言描述想象中的 $\left({-\infty,x}\right)\cap\mathbb{Q}$ 这个集合，然后把它定义成“实数”。

这里也是相同的想法，Kummer 利用同余等式定义什么叫做“含有 blahblah 的‘理想素因子’”，然而这个“理想素因子”对于 Kummer 还是一个不知道存不存在的东西。

Jacobi 映射 $\phi:\alpha\mapsto\xi\bmod p$ 满足性质 $\phi\left(\falpha\right)=\fxi\equiv 0\bmod p$，因此如果在 $\Zalpha$ 中有 $\falpha\mid\Phialpha$，则有 $\Phialpha=\falpha g\left(\alpha\right)$，同时用 $\phi$ 作用就有 $\Phixi=\phi\left(\Phialpha\right)=\phi\left(\falpha\right)\phi\left(g\left(\alpha\right)\right)=\fxi g\left(\xi\right)\equiv 0\bmod p.$ Kummer 发现无论 $\falpha$ 是否存在都不影响 $\Phixi\equiv 0\bmod p$ ——只要盖住中间分解因数的部分，直接让 Jacobi 映射作用在 $\Phialpha$ 上即可。因此 Kummer 对每个 Jacobi 映射 $\alpha\mapsto\xi\bmod p$ 都关联一个“理想素数”。

Lemmermeyer 指出：如果是今天的数学工作者，即使没有“理想”的概念，也可以毫不犹豫地直接把 Jacobi 映射定义为“理想素数”，但这样的用语对于当时的数学家来说还比较难接受。

Kummer 的新定义没有止步于此，提供“理想素数”的动机场景和由此产生的（有些拗口的）定义有三个问题：

1. 数的局限性：Jacobi 映射只能提供 $n\lambda+1$ 形式的素数的“理想因数”
2. 次数难定性：我们可以谈论一个整数具有某个素因子的次数（该素数在标准分解中指数部分是多少），对于“理想素数”，如何确定 $\mathbb{Z}\left[\alpha\right]$ 中一个复数具有该“理想素数”的次数呢？
3. 完备性：如何知道已经找到了所有的“理想素数”？

其他部分我就不细说了。在现代数学语言中，Kummer 的“理想数”可以用“理想”来代替，实际上每个 Kummer 的“理想数”就对应素理想因子分解（ideal factorization）$p\Zalpha=I_1\cdots I_{\lambda-1}$ 中的一个素理想。

几点议论

首先可以明确的是，Kummer 的“理想数”是 Kummer 假想存在的复数。本篇博文里的“理想素数”就是“类似‘素数’的‘理想数’”，“理想因数”就是“是‘因子’的‘理想数’”，“理想素因子”当然就是“是‘因子’的‘理想素数’”。这里大量使用引号，是因为这些“数”并不存在（至少不自然）——生活在现代的我们已经知道，这个东西更自然的提法是“理想”。

其次，从“理想数”到“理想”的过程，我觉得是数学研究的积累带来的数学语言上的进步。做研究基本上是两件事情——提出问题、解决问题。其中提出问题就要给出定义，一种合适的语言框架对这一步很有帮助。

最后，我最开始想写这篇博文的目的是论证“理想”是一个不好的翻译。当然，这篇文章的思考价值已经不仅仅是论证“理想”这个翻译好不好了，但还是要提一下。如果你 follow 了我上面的想法，不难看出 ideale complexe Zahlen 翻译为“理想（复）数”是不达意的。

根据《现代汉语词典》，“理想”有两个义项：

• 对未来事物的想象或希望（多指有根据的、合理的，跟空想、幻想不同）
• 符合希望的；使人满意的

从数学研究的角度考虑，如果 Kummer 不是对自己的研究特别痴迷、视若子嗣，应该用不上第一个义项；数学是隽永的（虽然数学语言、数学工具是进化的），也说不上“未来”。第二个义项勉强可以用，但是稍后的对比就会发现不足。

德语形容词 ideal 等同于英语形容词 ideal，其义项是：

• Satisfying one’s conception of what is perfect; most suitable.
• [attributive] Existing only in the imagination; desirable or perfect but not likely to become a reality.
  • Representing an abstract or hypothetical optimum.

第一个义项等于汉语“理想”的第二个义项，然而在这里应该取第二个义项（非子项），第二个义项要求 not like to become a reality，不完全贴合汉语的第一个义项。

实际上，从上文可以看出，Kummer 想要表达的是 imaginary 才对！只是“虚数”这个词已经被用掉了，所以才从 imaginary 变成了 ideal。意义上更准确的翻译是“想象数”“设想数”或者“假想数”。

环论中的 ideal 可以粗略地想成是倍数的集合（这对于 PID 是完全正确的想法），从 number 的角度来说，这统一了 non-ideal number（实际存在的复数）和 ideal number（Kummer 的“理想数”）。当然，无论怎么翻译，放到环论中的 ideal 都还是比较难有一个“直观”的汉语名字。