谈“理想”和其他

理想(ideal)是出现在抽象代数(更特别地,环论)中的一类对象,其命名很有渊源。之前我只知道这个名字来源于一位数学家研究惟一分解时引入的“理想数”(该研究的思路和一般化最终形成了现代数学语言中“理想”的定义),但是具体的细节不是很明白;最近在阅读 基于格(lattice)的密码学 的内容,其中提到了环上的格(ring lattice),其中提到了理想格(环的一个子集,同时满足格和理想的要求),好奇心一发不可收拾,读了 一些数学历史故事,对“理想数”加深了认识,记录下来以飨观众。文章最后讨论了“理想数”这个翻译的不达意之处。

这篇博文的内容主要是基于上述提到了数学历史故事,其引用是:Lemmermeyer, F. Abh. Math. Semin. Univ. Hambg. (2009) 79: 165. https://doi.org/10.1007/s12188-009-0020-5

你也可以 通过 arXiv 访问被引用文章。这篇博文的历史介绍不如那篇文章详细,但希望足以讲清楚“理想数”和“理想”的关系;本文将包括大量的翻译和少许补充。本文假设读者具有基本的抽象代数知识。

Kummer 的理想数

λ\lambda 是一个奇素数,α\alphaλ\lambda 次本原单位根(一个复数,满足 αλ=1\alpha^\lambda=1αk1\alpha^k\neq 1k=1,...,λ1k=1,\GLdots,\lambda-1),则环 Z[α]\Zalpha 中的元素可以写成 α\alpha 的小于 λ\lambda 次的整系数多项式 f(α)=a0+a1α++aλ1αλ1,\falpha=a_0+a_1\alpha+\cdots+a_{\lambda-1}\alpha^{\lambda-1}, 其中 a0,...,aλ1Za_0,\GLdots,a_{\lambda-1}\in\mathbb{Z}

考虑 Z[α]=α\Zalpha=\left\langle\alpha\right\rangle 的自同构,因为是单生成环,只需要指定生成元 α\alpha 的像,显然只能是一个本原单位根,所以它的所有自同构是 σk:ααk\sigma_k:\alpha\mapsto\alpha^k,其中 k=1,...,λ1k=1,\GLdots,\lambda-1(注意 λ\lambda 是素数)。

考虑 f(α)\falpha 的同构像,它们是 f(αk)f\left(\alpha^k\right),其中 k=1,...,λ1k=1,\GLdots,\lambda-1。把它们相乘得到 f(α)\falpha 的范数 N(f(α))=k=1λ1f(αk),N\left(\falpha\right)=\prod_{k=1}^{\lambda-1}{f\left(\alpha^k\right)}, 该范数在任意自同构下不动,是一个整数。

注解:这个“范数”没有度量的意义。实际上 f(αk)f\left(\alpha^k\right) 叫做 f(α)\falpha 相对于 σk\sigma_k共轭。这类似于 C=R[x]/(x2+1)\mathbb{C}={\mathbb{R}\left[x\right]}/{\left({x^2+1}\right)} 的自同构 zz¯z\mapsto\bar{z}。考虑任意一个无零因子环的自同构群的有限子群自然作用于(acts on)该环,一个元素的所有像的乘积非零当且仅当自己非零,且该乘积在该子群下不动。另一个经典的例子是考虑 Q[2]\mathbb{Q}\left[\sqrt{2}\right],其中 p+q2p+q\sqrt{2} 的共轭是 pq2p-q\sqrt{2},范数是 p22q2p^2-2q^2

Kummer 在一篇文章中如此介绍定义“理想数”的动机:

假设 p=λn+1p=\lambda n+1 是一个素数,且在 Z[α]\Zalpha 上具有素因子,也就是 p=N(f(α)).p=N\left(\falpha\right). 如果 f(α)\falpha 是一个复数且是 pp 的素因子(在 Z[α]\Zalpha 中的素因子),则它具有这样的性质:如果我们用 ξλ1modp\xi^\lambda\equiv 1\bmod p 的一个解 ξ\xi 代入 α\alpha,就会得到(一个正确的等式)f(ξ)0modp\fxi\equiv 0\bmod p

这里我需要加一个注解:从现代的观点看,如果 ppZ[α]\Zalpha 上是合数,假使它的一个素因子是 f(α)Z\falpha\notin\mathbb{Z},则 pp 一定具有该元素所有同构像作为素因子;这是因为同构保持素性和整除性,而 pp 在所有的自同构下都不动。因此,pp 若是合数,则它具有 N(f(α))N\left(\falpha\right) 作为因子,这个范数不能是 ±1\pm 1,因为范数是 ±1\pm 1 的元素是单位而不是素数;考虑自同态 σ0:α1\sigma_0:\alpha\mapsto 1,这个范数一定是非负的,所以只能是 pp

Kummer 接着提到:

如果(复)素数 f(α)\falpha 是复数 Φ(α)\Phialpha 的因子,则我们有 Φ(ξ)0modp\Phixi\equiv 0\bmod p。反过来,若 Φ(ξ)0modp\Phixi\equiv 0\bmod pppZ[α]\Zalpha 上可以分裂为 λ1\lambda-1 个素数相乘,则 Φ(α)\Phialpha 具有素因子 f(α)\falpha。然而 Φ(ξ)0modp\Phixi\equiv 0\bmod p 是否成立和 pp 是否能分解为 λ1\lambda-1 个素数相乘无关。因此,我们可以改换思路,用这作为定义:我们说 Φ(α)\Phialpha 含有 α=ξ\alpha=\xi 相关联的 pp 的“理想素因子”作为因子,当且仅当 Φ(ξ)0modp\Phixi\equiv 0\bmod p

这里我要再加一段注解:这里的思想是非常深刻的。我先解释这段可能有些拗口的话的含义,再介绍我学习数学时类似的想法。

这句话:

然而 Φ(ξ)0modp\Phixi\equiv 0\bmod p 是否成立和 pp 是否能分解为 λ1\lambda-1 个素数相乘无关。

是说前面的同余等式本身的 sense 已经是 well grounded,直接把它看成多项式求值即可,它 sense 的成立不依赖于“理想素数 f(α)\falpha”的存在。

用一个更加初级的例子理解,如果我们考虑两个 nn 阶有理数矩阵 A,BA,B,则 A,BA,B 相似当且仅当 A,BA,B 具有相同的 Jordan 标准形。值得注意的是 A,BA,B 作为有理数矩阵不一定具有 Jordan 标准形(例如它的有理数特征值个数不够),只有将它放到特征多项式的分裂域上考虑,才有 Jordan 标准形一说。熟知的是矩阵相似和域无关——两个矩阵相似,当且仅当它们的初等因子组/不变因子组/行列式因子相同。因此,我们改一种说法,不去考虑扩域什么的,而是如此定义:说两个矩阵 A,BA,B 具有相同的 Jordan 标准形,当且仅当它们相似。这里,被定义的短语是“具有相同的 Jordan 标准形”,我们不去考虑“Jordan 标准形”是什么,而是根据相似与否定义是否是“相同的 Jordan 标准形”。

上面这个初级的例子再进一步考虑的话,可以把一个矩阵的 Jordan 标准形定义成该矩阵在相似关系下的等价类。这定义当然和我们熟知的 Jordan 标准形不同,但是它对于让短语“具有相同的 Jordan 标准形”具有“实在”的含义是有帮助的。应该如此理解这样一个窘迫的定义:这是一个不知道 Jordan 标准形的人尽全力给出的一个定义。同样,Kummer 对于“理想素数”的定义也是这样的,只不过在他的时期,数学界上对于“同构说法”的接受程度还不高。

好,接下来说一个我学习数学的时候的这种“先想象、后用想象去定义”想法:

Baby Rudin 里使用 Q\mathbb{Q} 的 Dedekind 分割定义 R\mathbb{R}。若 XQX\subseteq\mathbb{Q} 满足:

  • X,XQX\neq\varnothing,X\neq\mathbb{Q}
  • 对任意 xX,yQ,y<xx\in X,y\in\mathbb{Q},y<xyXy\in X
  • 对任意 xXx\in X 存在 yQ,y>xy\in\mathbb{Q},y>x 使 yXy\in X

则说 XX 是一个实数,所有实数的集合记作 R\mathbb{R}(后面各种定义略)。

应该如何理解这个定义呢?我是这么想的:先利用高中数学的幼稚想法假想“实数”的存在,对于一个实数 xx,考虑 X=(,x)QX=\left({-\infty,x}\right)\cap\mathbb{Q},这个集合不依赖于“实数”的存在,而且不同的 xx 会对应不同的 XX(为什么?因为假想的“实数理论”里有 supX=x\sup X=x),因此我们现在改换想法,用不带“实数”的语言描述想象中的 (,x)Q\left({-\infty,x}\right)\cap\mathbb{Q} 这个集合,然后把它定义成“实数”。

这里也是相同的想法,Kummer 利用同余等式定义什么叫做“含有 blahblah 的‘理想素因子’”,然而这个“理想素因子”对于 Kummer 还是一个不知道存不存在的东西。

Jacobi 映射 ϕ:αξmodp\phi:\alpha\mapsto\xi\bmod p 满足性质 ϕ(f(α))=f(ξ)0modp\phi\left(\falpha\right)=\fxi\equiv 0\bmod p,因此如果在 Z[α]\Zalpha 中有 f(α)Φ(α)\falpha\mid\Phialpha,则有 Φ(α)=f(α)g(α)\Phialpha=\falpha g\left(\alpha\right),同时用 ϕ\phi 作用就有 Φ(ξ)=ϕ(Φ(α))=ϕ(f(α))ϕ(g(α))=f(ξ)g(ξ)0modp.\Phixi=\phi\left(\Phialpha\right)=\phi\left(\falpha\right)\phi\left(g\left(\alpha\right)\right)=\fxi g\left(\xi\right)\equiv 0\bmod p. Kummer 发现无论 f(α)\falpha 是否存在都不影响 Φ(ξ)0modp\Phixi\equiv 0\bmod p ——只要盖住中间分解因数的部分,直接让 Jacobi 映射作用在 Φ(α)\Phialpha 上即可。因此 Kummer 对每个 Jacobi 映射 αξmodp\alpha\mapsto\xi\bmod p关联一个“理想素数”。

Lemmermeyer 指出:如果是今天的数学工作者,即使没有“理想”的概念,也可以毫不犹豫地直接把 Jacobi 映射定义为“理想素数”,但这样的用语对于当时的数学家来说还比较难接受。

Kummer 的新定义没有止步于此,提供“理想素数”的动机场景和由此产生的(有些拗口的)定义有三个问题:

  1. 数的局限性:Jacobi 映射只能提供 nλ+1n\lambda+1 形式的素数的“理想因数”
  2. 次数难定性:我们可以谈论一个整数具有某个素因子的次数(该素数在标准分解中指数部分是多少),对于“理想素数”,如何确定 Z[α]\mathbb{Z}\left[\alpha\right] 中一个复数具有该“理想素数”的次数呢?
  3. 完备性:如何知道已经找到了所有的“理想素数”?

其他部分我就不细说了。在现代数学语言中,Kummer 的“理想数”可以用“理想”来代替,实际上每个 Kummer 的“理想数”就对应素理想因子分解(ideal factorization)pZ=I1Iλ1p\mathbb{Z}=I_1\cdots I_{\lambda-1} 中的一个素理想。

几点议论

首先可以明确的是,Kummer 的“理想数”是 Kummer 假想存在复数。本篇博文里的“理想素数”就是“类似‘素数’的‘理想数’”,“理想因数”就是“是‘因子’的‘理想数’”,“理想素因子”当然就是“是‘因子’的‘理想素数’”。这里大量使用引号,是因为这些“数”并不存在(至少不自然)——生活在现代的我们已经知道,这个东西更自然的提法是“理想”。

其次,从“理想数”到“理想”的过程,我觉得是数学研究的积累带来的数学语言上的进步。做研究基本上是两件事情——提出问题、解决问题。其中提出问题就要给出定义,一种合适的语言框架对这一步很有帮助。

最后,我最开始想写这篇博文的目的是论证“理想”是一个不好的翻译。当然,这篇文章的思考价值已经不仅仅是论证“理想”这个翻译好不好了,但还是要提一下。如果你 follow 了我上面的想法,不难看出 ideale complexe Zahlen 翻译为“理想(复)数”是不达意的。

根据《现代汉语词典》,“理想”有两个义项:

  • 对未来事物的想象或希望(多指有根据的、合理的,跟空想、幻想不同)
  • 符合希望的;使人满意的

从数学研究的角度考虑,如果 Kummer 不是对自己的研究特别痴迷、视若子嗣,应该用不上第一个义项;数学是隽永的(虽然数学语言、数学工具是进化的),也说不上“未来”。第二个义项勉强可以用,但是稍后的对比就会发现不足。

德语形容词 ideal 等同于英语形容词 ideal,其义项是:

  • Satisfying one’s conception of what is perfect; most suitable.
  • [attributive] Existing only in the imagination; desirable or perfect but not likely to become a reality.
    • Representing an abstract or hypothetical optimum.

第一个义项等于汉语“理想”的第二个义项,然而在这里应该取第二个义项(非子项),第二个义项要求 not like to become a reality,不完全贴合汉语的第一个义项。

实际上,从上文可以看出,Kummer 想要表达的是 imaginary 才对!只是“虚数”这个词已经被用掉了,所以才从 imaginary 变成了 ideal。意义上更准确的翻译是“想象数”“设想数”或者“假想数”。

环论中的 ideal 可以粗略地想成是倍数的集合(这对于 PID 是完全正确的想法),从 number 的角度来说,这统一了 non-ideal number(实际存在的复数)和 ideal number(Kummer 的“理想数”)。当然,无论怎么翻译,放到环论中的 ideal 都还是比较难有一个“直观”的汉语名字。

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